大数据之最长回文串
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题目描述
给定一个字符串，要求这个字符串当中最长的回文串。
示例
Input: "babad"
Output: "bab"
Note: "aba" is also a valid answer.
Input: "cbbd"
Output: "bb"
题目分析
这道题目是典型的看着简单，但是实际上并不简单的问题。
我们先从简单的算法开始，最简单的方法当然是暴力。由于我们需要求出最长的回文串，一种方法是求出s串所有的子串，然后一一对比它们是否构成回文。这样当然是可行的，但是我们简单分析一下复杂度就会发现，这并不能接受。对于一个长度为n的字符串来说，我们任意选择其中两个位置，就可以找到它的一个子串，那么我们选择两个位置的数量就是$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$。对于每一个子串，我们需要遍历一遍才能判断是否回文，所以整体的复杂度是$O(n^3)$。
但是如果你对回文串非常熟悉的话，会发现其实这是可以优化的。因为我们要求的是最长的回文串，如果我们确定了对称中心的位置，它能够构成的最长回文串就是确定的。所以我们只需要遍历所有的回文串中心，和每个中心能找到的最长回文串。这样我们的复杂度就降低了一维，变成了$O(n^2)$。
回文串有两种形式，一种是奇回文，也就是回文中心是一个字符，比如aba。还有一种是偶回文，回文中心是两个字符之间，比如abba。这两种情况我们需要分开讨论。
我们写出代码：
class Solution:
def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
n = len(s)
ret = ''
for i in range(n):
# 奇回文的情况
l, r = i, i
while s[l] == s[r]:
l -= 1
r += 1
if l < 0 or r >= n:
break
if r - l - 1 > len(ret):
ret = s[l+1: r]
# 偶回文的情况
l, r = i-1. i
while l >= 0 and s[l] == s[r]:
l -= 1
r += 1
if l < 0 or r >= n:
break
if r - l - 1 > len(ret):
ret = s[l+1: r]
return ret
到这里还没有结束，接下来我们介绍一个经典的回文串求解算法——Manacher，也叫做马拉车算法。
首先，我们需要统一奇回文和偶回文这两种情况，这也很方便，我们把原串进行处理，在两个相邻字符当中插入一个分隔字符#，比如abcd转化成#a#b#c#d#。一般我们还会在首尾加入防止超界的字符，比如$&等。之后我们维护两个值，分别是id和mr。mr表示当前能够构成的回文串向右延伸最远的位置，id表示这个位置对应的对称中心。根据这个位置id以及mr我们可以快速地求解出当前位置i能够构成的合法回文串的长度。
我们假设每一个位置构成的合法回文串半径是p[i], 那么对于i这个位置，我们可以得到p[i] >= min(mr - i, p[id * 2 - i])。其中id * 2 - i是i这个位置关于id的对称位置，并且以i为中心对称的回文串小于mr位置的部分也关于id对称。所以如果p[id * 2 - i] < mr - i的话，说明i关于id的对称位置没能突破id对称的限制，既然i的对称点没有能突破限制，那么i显然也不行。同理，如果p[id * 2 - i] > mr - i的话，说明i的对称位置没有被id限制住，但是这恰恰说明i被限制住了。因为如果i也能突破mr这个限制的话，那么说明id的对称范围还能扩大，这和我们的前提假设矛盾了。所以只有p[id * 2 - i] == mr - i的情况，i才有可能继续延伸。
如果能理解上面的关系，整个算法已经很清楚了，如果没看懂也没有关系，可以看下下面的动图，会展示得更加清楚。
理解了上述的算法过程之后剩下的工作就简单了，我们只需要在求解p[i]的同时维护id和mr即可。
最后我们来看下算法的复杂度，为什么这是一个O(n)的算法呢?原因很简单，我们只需要关注mr这个变量即可。mr这个变量是递增的，mr每次递增的大小，其实就是p[i] - (mr - i)的长度。所以虽然看似我们用了两重循环，但是由于mr最多只能递增n次，所以它依然是O(n)的算法。
代码实现
class Solution:
def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
# 在所有字符中间插入#
def transform(s):
return '$#' + '#'.join(list(s)) + '#&'
if s == '':
return s
# 初始化
s = transform(s)
p = [0 for _ in range(len(s)+1)]
mr, id_ = 0. 0
# 首尾是特殊字符，所以下标从1到len(s)-2
for i in range(1. len(s)-1):
# 计算p[i]
p[i] = 1 if mr <= i else min(p[2*id_-i], mr - i)
# 只有当前i已经摆脱id限制，或者是第三种情况时，才有可能继续延伸
# 这个只是优化，不加这个判断一样可以运行
if mr <= i or p[2*id_-i] == mr - i:
while s[i - p[i]] == s[i + p[i]]:
p[i] += 1
if i + p[i] > mr:
mr, id_ = i + p[i], i
# 找到长度最长的下标
id_ = p.index(max(p))
# 获得整个回文的字符串
palindromic = s[id_ - p[id_]+1: id_ + p[id_]]
# 过滤掉#，还原为原字符
return ''.join(filter(lambda x: x != '#', list(palindromic)))
